Para cada pregunta, escribe el evento de interés, y detalla los cálculos.
Ejemplo C.
Lucas y Paulo juegan el siguiente juego: Se lanza dos dados, si el resultado son dos números iguales, Lucas le da 500 pesos a Paulo; si los dos números suma igual a 8, Paulo le da 500 pesos a Lucas. El juego es justo o a quién favorece?
¿Si en el anterior juego, Paulo da 700 pesos a Lucas en vez de 500 pesos?
Ejemplo D.
En una rifa donde las boletas van desde 0001 hasta 9999, cuál es la probabilidad de ganar la rifa, si compraste
el número 7384
el número 8888
los números 3541 y 6766
8 números
Ejemplo E.
Al canzar una moneda 3 veces, calcular la probabilidad de:
Obtener 3 veces cara
Obtener 3 veces sello
Obtener al menos dos veces cara
Obtener una vez cara y dos veces sello
Técnicas de conteo - Principio multiplicativo
Se aplica cuando un posible resultado es la combinación de diferentes opciones
Si en total son \(k\) opciones, con \(n_1,n_2,\cdots,n_k\) números de posibles resultados, entonces el número total de posibles resultados es \(n_1n_2\cdots n_k\)
Se aplica cuando el orden de las diferentes opciones importa.
Ejemplo 1.
Patente de un auto 🚗
El sistema de patentes en Chile: JFDH23. ¿Cuántas posibles combinaciones hay? \[21\times 21\times 21 \times 21\times 10 \times 10=19,448,100\]
El sistema de patentes en Colombia: IYN264. ¿Cuántas posibles combinaciones hay? \[26\times 26\times 26 \times 10\times 10 \times 10=17,576,000\]
Ejemplo 2.
Carolina busca comprar ropa para su hijo entre 3 chaquetas diferentes, 4 pares de pantalones y 6 pares de zapatos
¿Cuántas pintas diferentes puede comprar para su hijo?
\[3\times 4 \times 6 =72\]
Ejemplo 3. (Factorial)
En un curso hay 6 niños, la profesora los ordena en una fila, ¿de cuántas posibles formas puede organizar la fila?
\(n!\) se lee como \(n\)factorial y corresponde al número de formas de ordenar \(n\) objetos.
Ejemplo 4.
Si en una prueba hay 10 preguntas, cada una se contesta con VERDADERO o FALSO.
De cuántas formas diferentes se puede contestar la prueba: 1024 formas
Si Carlos contesta toda la prueba adivinando, cuál es la probabilidad de contestar bien todas las preguntas? 9.765625^{-4}
Cuál es la probabilidad de contestar mal todas las preguntas? 9.765625^{-4}
Ejemplo 5.
En el juego de Scrabble, tienes 7 fichas: C, A, B, E, T, S, I. ¿Cuántas palabras puedes formar con estas 7 fichas, suponiendo que los consonantes y los vocales deben estar alternados?
144 palabras
Ejemplo 6.
Un testigo de un accidente vehícular informa al carabinero que el patente del auto que se huyó tiene los dos primeros letras: FS, y los dos últimos números son iguales.
¿Cuántos patentes debe verificar el carabinero para encontrar al sospechoso?
4410 patentes
Ejemplo 7. (Permutación)
¿De cuántas maneras se puede elegir a un primer, segundo y tercer ganador de entre 30 personas?
\(30\times 29\times 28=24360\) formas
Ordenar\(r\) de \(n\) objetos se conocen como \(n\) permutado \(r\)
El orden importa
Combinatorias
El número posible de formas de extraer \(r\) de \(n\) objetos se conoce como \(n\) combinado \(r\): \[\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]
El orden NO importa
\[\binom{n}{r}=10\]
Combinatorias
Ejemplo 8. La lotería kino consiste en extraer aleatoriamente 14 de 25 números, el número total de posibles resultados es: \[\binom{25}{14}=\frac{25!}{14!(25-14)!}=4,457,400\]
choose(25, 14) # 5 combinado 2
[1] 4457400
Ejemplo 9.
La lotería kino 5 consiste en extraer 5 números aleatorios de 36 números, cuál lotería es menos difícil de ganar? Kino o kino 5?
Multiplicación de combinatorias
Suponga que los \(n\) objetos se dividen en \(k\) grupos con \(n_1,\cdots,n_k\) objetos (\(n_1+\cdots+n_k=n\)), y se quiere extraer \(r_1,\cdots,r_k\) de estos grupos, el número de todas las combinaciones es: \[\binom{n_1}{r_1}\binom{n_2}{r_2}\cdots\binom{n_k}{r_k}\]
Ejemplo 10.
En el juicio del famoso jugador de fútbol americano O.J.Simpson, se debe seleccionar 12 de 50 candidatos para conformar el jurado.
En en total 121,399,651,100 formas se puede conformar el jurado.
Suponga que de los 50 candidatos 20 son afroamericanos, y se busca que la mitad del jurado sea afroamericano, de cuántas formas se puede conformar el jurado?
[1] 23014719000
Ejemplo 11.
El director técnico debe presentar los jugadores titulares para el partido amistoso entre Chile y Honduras el próximo martes ⚽.
Asumiendo que el equipo debe conformado por: 1 portero, 4 defensas, 4 medio campistas y 2 delanteros, y él cuenta con los siguientes jugadores convocados: 2 porteros, 8 defensas, 7 medio campistas y 5 delanteros. ¿Cuántos equipos diferentes puede armar con estos jugadores?
[1] 49000
Ejemplo 12.
En la lotería kino, cuál es la probabilidad que en el siguiente sorteo, todos los números ganadores sean menores a 15.
[1] 2.24346e-07
Ejemplo 13.
En la lotería kino 5, cuál es la probabilidad que en el siguiente sorteo, el número ganador tenga los 2 números (mes y día) de tu fecha de cumpleaños?
[1] 0.01587302
En la lotería kino 5, cuál es la probabilidad que en el siguiente sorteo, los números ganadores sean: 2 números menores de 10, y 2 números entre 12 y 16?
[1] 0.0210084
Ejemplo 14.
En la lotería kino 5, los números ganadores del último sorteo fueron: 03, 11, 13, 22, 28, cuál es la probabilidad que en el siguiente sorteo, se repitan 4 de estos 5 números?
[1] 0.0004111493
Ejemplo 15.
En el juego de poker se selecciona 5 cartas de una baraja de 52 cartas, cuál es la probabilidad de que las 5 cartas seleccionadas sean:
2 rojas y 3 negras.
todas diamante
2 As
3 cartas mayores a 10 y 2 cartas entre As y 5.
Operación de conjuntos (eventos)
Existen los siguientes tipos de operaciones de conjuntos:
Unión de conjuntos: \(A\cup B\). \(\cup\) es equivalente a “ó”
Intersección de conjuntos: \(A\cap B\). \(\cap\) es equivalente a “y”
Complemento de un conjunto: \(A^c\). \(^c\) es equivalente a “no”
Diferencia: \(A-B\).
Si \(A\cap B=\emptyset\), decimos que \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes (eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo).
Operación de conjuntos (eventos)
Ejemplo. 🎲🎲 Experimento aleatorio: lanzar 2 dados. \(\Omega=\{(a,b):a=1,\cdots,6, b=1,\cdots,6\}\), se definen los siguientes eventos:
\(A\): obtener dos números iguales
\(B\): la suma de los resultados sea menor a 7
Enlisten todos los elementos de \(A\) y \(B\)
Describa en palabras los eventos \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A^c\), \(B^c\), \(A-B\) y \(B-A\)
Enlisten los elementos de cada uno de los eventos del punto anterior.
Axiomas para probabilidades
Dado un experimento aleatorio con espacio muestral \(\Omega\), la función de probabilidad cumple las siguientes axiomas:
\(P(A)\geq0\) para todo evento \(A\)
\(P(\Omega)=1\)
Si \(A\) y \(B\) son eventos mutuamente excluyentes, entonces \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
Otras propiedades:
\(P(A^c)=1-P(A)\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Si \(A\subseteq B\), entonces \(P(A)\leq P(B)\)
Cálculo de probabilidades
Suponga que para dos eventos \(A\) y \(B\), \(P(A)=0.375\), \(P(B)=0.5\), y \(P(A\cap B)=0.25\), calcular las siguientes probabilidades
\(P(A\cup B)\)
\(P(A^c)\)
\(P(B^c)\)
\(P(A^c\cap B^c)\)
\(P(A^c\cup B^c)\)
\(P(A-B)\)
\(P(B-A)\)
Ejercicio 1.
Un estudiantes tiene respectivamente probabilidades de 0.5 y 0.2 de reprobar las dos primeras pruebas escritras del ramo. La probabilidad de que repruebe ambas pruebas es de 0.1. Determinar la probabilidad de que:
Apruebe la primera prueba
Apruebe la segunda prueba
Apruebe ambas pruebas
Al menos una de las dos pruebas
Ejercicio 2.
El \(30\%\) de los estudiantes de una universidad juegan fútbol ⚽, el \(40\%\) juegan el baloncesto 🏀, y el \(10\%\) juegan ambos deportantes. Se elige un estudiante al azar. Calcula:
La probabilidad de que juegue fútbol
La probabilidad de que juegue ambos deportes
La probabilidad de que no juege fútbol y tampoco baloncesto.
La probabilidad de que juege fútbol pero no juege baloncesto.
La probabilidad de que juege baloncesto pero no juege fútbol.
Ejercicio 3.
En la comuna de Providencia hay 450 empresas pymes registradas, se sabe que:
150 de ellas tienen más de 5 empleados; 130 en el año 2018 pagaron más de 1 millón de pesos en impuestos; 120 operan son empresas familiares
70 tienen más de 5 empleados y pagaron más de 1 millón de pesoss en impuestos; 50 pagaron más de 1 millón de pesoss en impuestos y son empresas familiares; 45 tienen más de 5 empleados y son empresas familiares
25 tienen más de 5 empleados, pagaron más de 1 millón de pesoss en impuestos y son empresas familiares
Digan cuántas empresas pymes de Providencia
Tienen más de 5 empleados y no son empresas familiares
Tienen menos de 5 empleados y pagaron menos de 1 millón de pesos de impuesto
Son empresas familiares, tienen más de 5 empleados y pagaron menos de 1 millón de pesos de impuesto
No son empresas familiares tiene menos de 5 empleados y pagaron más de 1 millón de pesos de impuesto
Probabilidad condicional
En el cálculo de probabilidades, si se quiere calcular \(P(A)\), la información de un evento relacionada con \(B\) puede mejorar nuestro conocimiento acerca de \(P(B)\).
Si se lanza dos dados, se define el evento de \(A\) como “la suma de los dos números sea 8”,
si no se tienen ninguna información adicional, se calcula que \(P(A)=5/36\)
si se sabe que los dos números son iguales, \(P(A)\) cambia?
si se sabe que uno de los dos resultados es 1, \(P(A)\) cambia?
Probabilidad condicional
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos de un experimento aleatorio, la probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) está denotada por \(P(A\mid B)\) y está dada por \[P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\] si \(P(B)\neq0\).
Ejemplo A.
Si se lanza dos dados, se define el evento de \(A\) como “la suma de los dos números sea 8”,
si no se tienen ninguna información adicional, se calcula que \(P(A)=5/36\)
si se sabe que los dos números son iguales, \(P(A)=?\)
si se sabe que uno de los dos resultados es 3, \(P(A)=?\)
si se sabe que uno de los dos resultados es 1, \(P(A)=?\)
Ejemplo B.
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
Eventos independientes
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos de un experimento aleatorio, \(A\) y \(B\) son indepedientes, si
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) ó
\(P(A\mid B)=P(A)\) ó
\(P(B\mid A)=P(B)\).
La ocurrencia de un evento no afecta en la ocurrencia del otro.
Ejemplo C.
A una empresa llegaron 220 solicitudes de empleo, distribuidas así:
Aceptada
Rechazada
Hombre
22
78
Mujer
28
92
Calcular la probabilidad de:
que una persona mujer sea contratada?
que una persona mujer sea contratada?
ser mujer y obtener el empleo son eventos independientes?
Teorema de probabilidad total
Si \(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_p=\Omega\), y \(B\) es cualquier evento, entonces \[P(B)=P(B\mid A_1)P(A_1)+P(B\mid A_2)P(A_2)+\cdots +P(B\mid A_p)P(A_p)\]
Ejemplo D.
Suponga que una fábrica tiene 3 líneas de producción, que producen 45%, 30% y 25% de la totalidad de los productos, y el porcentaje de los productos defectuosos de las 3 líneas son del 1%, 2% y 5%, respectivamente.
En general, cuál es el porcentaje de productos defectuosos de esta fábrica.
Teorema de Bayes
Si \(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_p=\Omega\), y \(B\) es cualquier evento, entonces \[P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{P(B)}\]
Ejemplo D.
Suponga que una fábrica tiene 3 líneas de producción, que producen 45%, 30% y 25% de la totalidad de los productos, y el porcentaje de los productos defectuosos de las 3 líneas son del 1%, 2% y 5%, respectivamente.
Si se encuentra un producto defectuoso, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea A, B o C?
Ejemplo E.
Una cierta prueba de influenza tiene la probabilidad de dar un resultado falso positivo de 5%, y la probabilidad de dar un resultado falso negativo de 4%. Y suponga que un 10% de la población está con influenza, al seleccionar una persona al azar de la población, cuál es la probabilidad de que
tenga influenza si el resultado de la prueba es positivo
tenga influenza si el resultado de la prueba es negativo
no tenga influenza si el resultado de la prueba es positivo
no tenga influenza si el resultado de la prueba es negativo
