Una variable aleatoria es continua si toma valores en un intervalo
Una v.a. continua toma infinitos valores.
El intervalo puede ser de forma \((a,b)\), \([a,b]\), \((-\infty, a)\), \((b,\infty)\), entre otros.
Ejemplo:\(Y\) denota el precio de dólar de mañana: \(Y\) puede tomar cualquier valor entre: 800 pesos chilenos y 900 pesos chilenos.
Ejemplo:\(Z\) denota los cambios de un índice bursátil, \(Z\) puede tomar cualquier valor entre: -15% y 20%.
Comportamiento de una v.a. continua
No se puede conocer de antemano el valor que vaya a tomar una v.a., pero sí podemos calcular las probabilidades.
Estas probabilidades se representan por medio de la función de densidad\(f(x)\).
En la gráfica de \(f(x)\), los valores de la variable están en el eje horizontal, los valores de \(f(x)\) están en el eje vertical.
Función de densidad continua
Función de densidad continua
Función de densidad continua
Función de densidad continua
En general, para una v.a. continua \(X\), la función de densidad \(f(x)\) cumple:
\(f(x)\geq 0\)
\(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1\) (el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es 1)
Función de densidad continua
Función de densidad continua
Función de densidad continua
Uso de \(f(x)\) continua
\[Pr(a<X<b)=\int_a^b f(x)dx=\text{Área bajo curva de $f(x)$}\]
Uso de \(f(x)\) continua
Uso de \(f(x)\) continua
Uso de \(f(x)\) continua
Ejercicio 1. Para esta función de densidad, represente gráficamente las siguientes probabilidades:
\(Pr(X>5)\)
\(Pr(1<X<4)\)
\(Pr(X<8)\)
\(Pr(X=1)\)
Uso de \(f(x)\) continua
Ejercicio 2. Para la siguiente función de densidad donde los diferentes valores indica áreas correspondientes
Uso de \(f(x)\) continua
Expresar los 4 valores en términos de las probabilidades:
\(0.16=Pr(\hspace{2cm})\)
\(0.34=Pr(\hspace{2cm})\)
\(0.48=Pr(\hspace{2cm})\)
\(0.02=Pr(\hspace{2cm})\)
Calcular las siguientes probabilidades:
\(Pr(X<0)=\)
\(Pr(X>0)=\)
\(Pr(X<2)=\)
\(Pr(X>-1)=\)
\(Pr(-1<X<2)=\)
Interpretación de \(f(x)\)
Densidad de la variable ingreso mensual por persona: Línea verde (país A), línea azaul (país B)
Interpretación de \(f(x)\)
Se puede ver que la mayoría de las personas del país A tienen ingreso entre 500 y 1500 pesos. ¿Qué se puede decir del país B?
¿Si una persona con ingreso menos de 1000 dólares mensuales se clasifica como pobre, en qué país hay más pobres?
En qué país hay mayor porcentaje de personas con ingreso mayor a 2500 dólares mensuales?
¿En general cuál país tiene mayor ingreso?
Distribución uniforme continua
Una v.a. continua tiene distribución uniforme sobre un intervalo \((a,b)\) si su función de densidad está dada por \[f(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a} & \text{si $a<x<b$}\\
0 & \text{si no}
\end{cases}\]
La función de densidad es una constante, y su gráfica es una línea horizontal en el intervalo \((a,b)\).
Se usará la notación \(X\sim Unif(a,b)\).
Distribución uniforme continua
Diferentes distribuciones exponencial.
Distribución Exponencial
Una v.a. continua \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro de escala \(\theta>0\) si su función de densidad está dada por: \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}&\text{si $x>0$}\\
0&\text{si no}
\end{cases}\]
Se usará la notación \(X\sim Exp(\theta)\).
Distribución Exponencial
Uso de Distribución Exponencial
La distribución exponencial toma valores positivos, y puede ser utilizado para describir el tiempo necesario para la ocurrencia de algún evento.
Ejemplo: tiempo de sobrevivencia de pacientes, la vida útil de algún equipo.
En la anterior gráfica, se puede ver que la distribución \(Exp(2)\) está más concentrada en valores pequeños de \(X\), comparada con \(Exp(3)\) y \(Exp(5)\).
En \(Exp(\theta)\), entre menor sea \(\theta\), más tiende \(X\) a tomar valores pequeños.
Distribución Exponencial
Comparación de \(f(x)\) para la vida útil (en años) de dos marcas de lavadoras (marca verde y marca azul)
¿Cuál lavadora tiene mayor probabilidad de dañar antes de 3 años?
¿Cuál lavadora tiene mayor probabilidad de durar más de 10 años?
¿Cuál lavadora es mejor en términos de duración?
Distribución Exponencial
Propiedades: Si \(X\sim Exp(\theta)\) entonces
\[E(X)=\theta\]
\[Var(X)=\theta^2\]
La esperanza de la distribución coincide con el parámetro \(\theta\). Por lo tanto, entre menor sea \(\theta\), más tiende \(X\) a tomar valores pequeños.
Distribución Exponencial
Suponga que \(X\) denota el tiempo transcurrido entre 2 temblores en Chile, y \(X\sim Exp(\theta=3.5\text{ meses})\), y \(Y\) denota la misma variable para Colombia con \(Y\sim Exp(\theta=6.7\text{ meses})\).
En una misma gráfica representa la función de densidad de \(X\) y \(Y\).
Probabilidades de \(Exp(\theta)\)
Recuerden: \[Pr(a<X<b)=\int_a^b f(x)dx\]
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
Suponga que \(X\) denota la vida útil de una cierta marca de lavadora, y \(X\sim Exp(\theta=\ 5.7\ años)\).
¿En promedio cuánto tiempo dura una lavadora de esta marca?
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure menos de 3 años?
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure más de 10 años?
Usted compra una lavadora de esta marca usada con 3 años de uso, ¿cuál es la probabilidad de que dure 4 años más?
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
¿En promedio cuánto tiempo dura una lavadora de esta marca?
\(E(X)=?\)
Respuesta: En promedio una lavadora de esta marca dura 5.7 años, esto es, aproximadamente 5 años y 8 meses.
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure menos de 3 años? \(Pr(X<3)\)
En Excel, usar la función EXPON.DIST
Respuesta: La probabilidad de que una lavadora de esta marca dure menos de 3 años es de 40.92%.
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure menos de 3 años? \(Pr(X<3)\)
En R, usar la función pexp
pexp(3, 1/5.7)
[1] 0.4092225
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure más de 10 años?
\[Pr(X>10)=1-Pr(X<10)\]
Respuesta: la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure más de 10 años es de 17.30%.
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de esta marca dure más de 10 años?
\[Pr(X>10)=1-Pr(X<10)\]
En R,
1-pexp(10, 1/5.7)
[1] 0.1730134
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
Ejercicio \(Exp(\theta)\)
Usted compra una lavadora de esta marca usada con 3 años de uso, ¿cuál es la probabilidad de que dure 4 años más?
Dentro de todas las distribuciones de probabilidad, la más importante es la distribución normal.
Presentada por primera vez en el 1733.
También conocida como la distribución gaussiana por el matemático, físico y astrónomo Carl Friedrich Gauss. (https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stigler).
Tiene muchas propiedades que otras distribuciones no tienen.
La mayoría de modelos estadísticos se formulan primero para la distribución normal, y después se extiende a las otras distribuciones.
Distribución Normal
Una v.a. \(X\) sigue una distribución normal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) si su función de densidad está dada por: \[\begin{equation}
f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right\}
\end{equation}\] donde \(\sigma>0\).
\(X\) toma valores desde \(-\infty\) hasta \(\infty\)
Notación: \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\).
Distribución Normal
Densidad Normal
La forma de la función de densidad es definida por los dos parámetros: \(\mu\) y \(\sigma\)
Distribución Normal
\(\mu\) corresponde al eje de simetría de \(f(x)\)
Distribución Normal
La mayor probabilidad está concentrada alrededor de \(\mu\).
Distribución Normal
Propiedad de la distribución \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\):
\[E(X)=\mu\]
Distribución Normal
El segundo parámetro \(\sigma\) determina qué tan concentrada está la variable alrededor de \(\mu\).
Distribución Normal
En ambas gráficas, los valores de \(X\) están concentrados alrededor de 1, pero los de \(\sigma=1\) están más concentrados que \(\sigma=2\)
Distribución Normal
Propiedad de la distribución \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\):
\[Var(X)=\sigma^2\] Entre más pequeño sea \(\sigma\), más concetrados están los valores de \(X\) alrededor de \(\mu\).
Ejemplo Normal
Suponga que el número de ventas diarias de un almacén sigue la distribución \(N(\mu=23,\ \sigma=5)\)
La función de densidad es:
El número promedio de ventas diarias es de 23 ventas.
La diferencia promedia entre distintos días es de aproximadamente 5 ventas.
Este integral no tiene solución analítica, sino que se calcula con métodos numéricos (aproximaciones).
Ejemplo Normal
Suponga que el número de ventas diarias de un almacén sigue la distribución \(N(\mu=23,\ \sigma=5)\), calcular probabilidad de que en un día determinado
haga menos de 10 ventas
haga más de 30 ventas
haga entre 10 y 40 ventas
Ejemplo Normal
\(X\) denota el número de ventas en un día, entonces \(X\sim N(\mu=23,\ \sigma=5)\) ó \(X\sim N(\mu=23,\ \sigma^2=25)\)
Probabilidad de que en un día determinado haga menos de 10 ventas: \(Pr(X<10)\)
En Excel, usar la función NORM.DIST
Ejemplo Normal
En R, usar la función pnorm
pnorm(10, 23, 5)
[1] 0.004661188
Ejemplo Normal
probabilidad de que en un día determinado haga más de 30 ventas: \(Pr(X>30)=1-Pr(X<30)\)
En Excel,
Ejemplo Normal
En R,
1-pnorm(30, 23, 5)
[1] 0.08075666
Ejemplo Normal
Probabilidad de que en un día determinado haga entre 10 y 40 ventas: \(Pr(10<X<40)=Pr(X<40)-Pr(X<10)\)
En Excel,
Ejemplo Normal
En R,
pnorm(40, 23, 5) -pnorm(10, 23, 5)
[1] 0.9950019
Ejemplo Normal
Distribución Normal Estándar
En una distribución normal, cuando \(\mu=0\) y \(\sigma=1\), la distribución se conoce como la distribución Normal Estándar. (\(Z\sim N(0,\ 1)\))
Distribución Normal Estándar
Cualquier distribución normal se puede convertir a una distribución normal estándar (estandarización)
Si \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), entonces \[Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,\ 1)\]
Antiguamente, el cálculo sobre cualquier distribución normal se realiza por medio de la \(N(0,1)\).
Distribución Normal Estándar
Existen 3 tipos “tablas” de la distribución normal estándar que permiten cálculo de probabilidades:
Ejemplo: Suponga que el número de ventas diarias de un almacén sigue la distribución \(N(\mu=23,\ \sigma=5)\), calcular probabilidad de que en un día determinado
En una distribución \(N(\mu,\sigma^2)\)\[Pr(\mu-2\sigma <X<\mu+2\sigma)=Pr(-2<Z<2)\approx 95\%\]
Con probabilidad \(95\%\), los valores de una v.a. normal está alrededor de su media \(\mu\) más y menos 2 desviaciones.
Probabilidades en Distribución Normal
Ej: Número de ventas diarias \(\sim N(\mu=23,\sigma=5)\), entonces con probabilidad \(95\%\), se vende diariamente entre \(23-2*5=13\) y \(23+2*5=33\) libros
Ej: El precio de boleta de avión desde Santiago a Bogotá \(\sim N(\mu=1500USD,\sigma=400USD)\), entonces con probabilidad \(95\%\), el precio está entre _______ USD y ______ USD
Percentiles normal
Definición: el percentil \(p\) de una distribución es el valor de la variable que tenga probabilidad acumulada (hacia la izquierda) \(p\).
Percentiles normal
El concepto de los percentiles es muy importante en la estadística, porque se usan en diferentes cálculos casi todas las ramas de la estadística.
Percentiles de la\(N(0,1)\)
En Excel: usar la función NORM.S.INV
Percentiles normal
Percentiles de la\(N(0,1)\)
En R: usar la función qnorm:
qnorm(0.975)
[1] 1.959964
Decimos que 1.96 es el percentil 97.5% de la distribución \(N(0,1)\)
\(z_{0.975}=1.96\)
¿Con probabilidad ___%, la \(Z\) está entre -1.96 y 1.96?
Percentiles normal
Encuentra los percentiles 50% y 95% de la distribución \(N(0,1)\).
\[z_{\ \ \ \ }=\]\[z_{\ \ \ \ }=\]
Percentiles normal
Percentiles de cualquier normal
En Excel: usar la función NORM.INV.
Percentil 97.5% de la distribución \(N(\mu=23,\sigma=5)\)
Percentiles normal
Percentiles de cualquier normal
En R: usar la función qnorm
qnorm(0.975, 23, 5)
[1] 32.79982
33 es el percentil 97.5% de \(N(\mu=23,\sigma=5)\)
